Tableau de congruences et divisibilité par 3 - Corrigé

Énoncé

En utilisant un tableau de congruences, démontrer que pour tout  \(n \in \mathbb{Z}\) , l'entier   \(n(n+5)(n+7)\) est divisible par \(3\) .

Solution

On fait un tableau de congruences modulo \(3\) .
\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline n \equiv ... \ [3] & 0 & 1 & 2 \\ \hline n+5 \equiv ... \ [3] & 2 & 0 & 1 \\ \hline n+7 \equiv ... \ [3] & 1 & 2 & 0 \\ \hline n(n+5)(n+7) \equiv ... \ [3] & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array} \end{align*}\)  

Ainsi, pour tout \(n \in \mathbb{Z}\) , \(n(n+5)(n+7) \equiv 0 \ [3]\) , c'est-à-dire \(n(n+5)(n+7)\) est divisible par \(3\) .